En español tenemos un solo verbo, conocer, para hablar tanto del primer encuentro con alguien como del trato que ya tenemos con esa persona. En inglés hay dos verbos distintos: meet y know. Confundirlos es uno de los errores más comunes de los hispanohablantes.
En una línea: meet es para el primer encuentro; know, para cuando ya conoces a la persona o el lugar.
Meet: el primer encuentro
Usamos meet la primera vez que vemos a alguien.
I met John at a party last summer. (Conocí a John en una fiesta el verano pasado).
Nice to meet you. (Encantado de conocerte).
She met her husband in college. (Conoció a su marido en la universidad).
Fíjate en el último ejemplo: aunque lleven veinte años casados, usamos meet porque hablamos del momento en que se conocieron.
Know: cuando ya conoces a alguien
Usamos know para describir una relación o familiaridad ya establecida, sin referirnos al primer contacto.
I know John. We work together. (Conozco a John. Trabajamos juntos).
Do you know my sister? (¿Conoces a mi hermana?)
How long have you known her? (¿Cuánto tiempo hace que la conoces?)
Know también sirve para lugares y cosas, en el sentido de estar familiarizado con ellos.
I know Madrid pretty well. (Conozco Madrid bastante bien).
She knows that song. (Conoce esa canción).
Meet tiene otros significados
Además del primer encuentro, meet se usa también para quedar con alguien o reunirse.
Let's meet at the café at six. (Quedamos en el café a las seis).
The board meets every Monday. (La junta se reúne todos los lunes).
Para evitar la ambigüedad con el primer encuentro, muchas veces se añaden up o with (o los dos):
I'm meeting up with some friends tonight. (Esta noche he quedado con unos amigos).
She met with her lawyer yesterday. (Se reunió ayer con su abogada).
Un caso útil: get to know
Hay una expresión muy frecuente que vale la pena recordar: get to know describe el proceso gradual de llegar a conocer a alguien, no el momento puntual del primer encuentro.
I'm getting to know my new colleagues. (Estoy conociendo a mis nuevos compañeros).
It took me a while to really get to know her. (Me llevó un tiempo conocerla de verdad).
En español usaríamos conocer a secas; en inglés, esta forma con get capta ese matiz de proceso.
¿Y saber, dónde queda?
El verbo conocer se reparte en inglés entre know y meet. Pero saber (el otro verbo español que también se traduce a veces como know) se queda dentro de know.
I know that he's coming. (Sé que viene).
She knows how to swim. (Sabe nadar).
Es decir: know cubre tanto saber (información, datos, cómo hacer algo) como conocer (a una persona, un lugar). Meet, en cambio, solo se usa para reunirse/quedar o conocer a alguien por primera vez.
Resumen
Meet: primer encuentro, o quedar/reunirse.
Know: ya conoces a la persona, el lugar, el objeto inanimado o el hecho.
Si en español dirías conocí (pretérito), casi siempre será met.
Si dirías conozco (presente), casi siempre será know.